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來源：初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:12:03
例1 如圖2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，DF∥EC交BC延長線于F．求證：四邊形EBFD是等腰梯形．
分析 因?yàn)?/FONT>E，D是三角形ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，所以ED∥BF．此外，還要證明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．
證 因?yàn)?/FONT>E，D是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，所以
ED∥BF．
又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四邊形，所以
EC=DF． ①
又E是Rt△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，所以
EC=EB． ②
由①，②
EB=DF．
下面證明EB與DF不平行．
若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，這與EC與EB交于E矛盾，所以EBDF．
根據(jù)定義，EBFD是等腰梯形．
例2 如圖2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度數(shù)．
分析 由于△BCD是等腰三角形，若能確定頂點(diǎn)∠CBD的度數(shù)，則底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜邊BC(即BD)的長．又梯形的高，即Rt△ABC斜邊上的中線也可求出．通過添輔助線可構(gòu)造直角三角形，求出∠BCD的度數(shù)．
解 過D作DE⊥EC于E，則DE的長度即為等腰Rt△ABC斜邊上的高AF．設(shè)AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知
AF2+BF2=AB2，
即
又
BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，
由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，
從而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理)．在△CBD中，
例3 如圖2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分線交BC于N，交AB延長線于F，垂足為M．求證：AD=BF．
分析 MF是DC的垂直平分線，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，從而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，進(jìn)而推知△BFN是等腰直角三角形，從而AD=BN=BF．
證 連接DN．因?yàn)?/FONT>N是線段DC的垂直平分線MF上的一點(diǎn)，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知
∠C=45°，
從而
∠NDC=45°．
在△NDC中，
∠DNC=90°(=∠DNB)，
所以ABND是矩形，所以
AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．
△BNF是一個(gè)含有銳角45°的直角三角形，所以BN=BF．又
AD=BN，
所以 AD=BF．
例4 如圖2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中點(diǎn)．若AD=2，BC=8，求△ABE的面積．
分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的長等于兩底長之和，它啟發(fā)我們利用梯形的中位線性質(zhì)(這個(gè)性質(zhì)在教材中是梯形的重要性質(zhì)，我們將在下一講中深入研究它，這里只引用它的結(jié)論)．取腰AB的中點(diǎn)F，(或BC)．過A引AG⊥BC于G，交EF于H，則AH，GH分別是△AEF與△BEF的高，所以
AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，
所以AG=8．這樣S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．
解 取AB中點(diǎn)F，連接EF．由梯形中位線性質(zhì)知
EF∥AD(或BC)，
過A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行線等分線段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知
AG2=AB2-BG2
=(AD+BC)2-(BC-AD)2
=102-62=82，
所以 AG=8，
從而 AH=GH=4，
所以
S△ABE=S△AEF+S△BEF
例5 如圖2-47所示．四邊形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．
(1)求證：ADCF是等腰梯形；
(2)若△ADC的周長為16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四邊形ADCF的周長．
分析 欲證ADCF是等腰梯形．歸結(jié)為證明AD∥CF，AF=DC，不要忘了還需證明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，應(yīng)從全等三角形下手．計(jì)算等腰梯形的周長，顯然要注意利用AC-FC=3厘米的條件，才能將△ADC的周長過渡到梯形的周長．
解 (1)因?yàn)?/FONT>AB∥DF，所以∠1=∠3．結(jié)合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以
EA=ED．
又 AC=DF，
所以 EC=EF．
所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且頂角為對頂角，由三角形內(nèi)角和定理知∠3=∠4，從而AD∥CF．不難證明
△ACD≌△DFA(SAS)，
所以 AF=DC．
若AF∥DC，則ADCF是平行四邊形，則AD=CF與FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．
綜上所述，ADCF是等腰梯形．
(2)四邊形ADCF的周長=AD+DC+CF+AF． ①
由于
△ADC的周長=AD+DC+AC=16(厘米)， ②
AF=3(厘米)， ③
FC=AC-3， ④
將②，③，④代入①
四邊形ADCF的周長=AD+DC+(AC-3)+AF
=(AD+DC+AC)-3+3
=16(厘米)．
例6 如圖2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分別是OA，BC，OD的中點(diǎn)．求證：△PQR是等邊三角形．
分析 首先從P，R分別是OA，OD中點(diǎn)知，欲證等邊三角形PQR的邊長應(yīng)等于等腰梯形腰長之半，為此，只需證明QR，QP等于腰長之半即可．注意到△OAB與△OCD均是等邊三角形，P，R分別是它們邊上的中點(diǎn)，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC與Rt△CRB中，PQ，RQ分別是它們斜邊BC(即等腰梯形的腰)的中線，因此，PQ=RQ=腰BC之半．問題獲解．
證 因?yàn)樗倪呅?/FONT>ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質(zhì)知，它的同一底上的兩個(gè)角及對角線均相等．進(jìn)而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC與BD成60°角，所以，△ODC與△OAB均為正三角形．連接BP，CR，則BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC與Rt△CRB中，PQ，RQ分別是它們的斜邊BC上的中線，所以
又RP是△OAD的中位線，所以
因?yàn)?AD=BC， ③
由①，②，③得
PQ=QR=RP，
即△PQR是正三角形．
說明 本題證明引人注目之處有二：
(1)充分利用特殊圖形中特殊點(diǎn)所帶來的性質(zhì)，如正三角形OAB邊OA上的中點(diǎn)P，可帶來BP⊥OA的性質(zhì)，進(jìn)而又引出直角三角形斜邊中線PQ等于斜邊BC之半的性質(zhì)．
(2)等腰梯形的“等腰”就如一座橋梁“接通”了“兩岸”的髀使△PQR的三邊相等．
練習(xí)十三
1．如圖2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度數(shù)．
2．如圖2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周長=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周長．
3．如圖2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分別為AB，CD的中點(diǎn)．求EF．
4．如圖2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中點(diǎn)，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面積．
5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)．求證：
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